Sistem persamaan linier™


Dari Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas


Sebuah sistem linier dalam tiga variabel menentukan koleksi plane(matematika) . Titik persimpangan adalah solusinya.

Dalam matematika , suatu sistem persamaan linear (atau sistem linier) adalah kumpulan dari persamaan linier yang melibatkan set variabel yang sama . Sebagai contoh,

\ Begin (alignat) (7) 3x & & \; \ +; & & 2y & & \; - \; & & z & & \; \ =; & & 1 & \ \ 2x & & \; - \; & & 2y & & \; + \ ; & & 4z & & \; = \; & & -2 & \ \-x & & \; \ +; & & \ tfrac (1) (2) y & & \; - \; & & z & & \; \ =; & & 0 & \ end (alignat)

adalah suatu sistem dari tiga persamaan dalam tiga variabel x, y, z. A solution to a linear system is an assignment of numbers to the variables such that all the equations are simultaneously satisfied. Sebuah solusi untuk suatu sistem linier adalah pengisian dari nomor kepada variabel semua persamaan secara simultan . Sebuah solusi untuk sistem di atas diberikan oleh

\ Begin (alignat) (2) x & = & 1 \ \ y & = & -2 \ \ z & = & -2 \ end (alignat)

selama itu membuat tiga persamaan yang valid.

Dalam matematika, teori sistem linier adalah cabang aljabar linier , subjek yang merupakan dasar untuk matematika modern. Komputasi algoritma untuk mencari solusi merupakan bagian penting dari aljabar linear numerik , dan metode tersebut memainkan peran penting dalam rekayasa , fisika , kimia , ilmu komputer , dan ekonomi . Sebuah sistem persamaan non-linear sering dapat didekati dengan sistem linear (lihat Linearisasi ), teknik membantu ketika membuat model matematika atau simulasi komputer dari sistem yang relatif kompleks.

contoh Dasar

Jenis paling sederhana dari sistem linear melibatkan dua persamaan dan dua variabel:

\ Begin (alignat) (5) 2x & & \; \ +; & & 3y & & \; = \; & & 6 & \ \ 4x & & \; \ +; & & 9y & & \; = \; & & 15 &. \ End (alignat)

Salah satu metode untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, menyelesaikan persamaan atas untuk x dalam hal y:

x = 3 - \ frac (3) (2) y.

Sekarang pengganti ungkapan ini untuk x ke dalam persamaan dasar:

4 \ left (3 - \ frac (3) (2)) kanan \ y + 9y = 15.

hasilnya adalah suatu persamaan tunggal yang hanya melibatkan variabel y . Penyelesaian menghasilkan  y = 1, dan mengganti ini kembali ke persamaan untuk x menghasilkan x = 3 / 2. Metode ini tergeneralisasi pada sistem dengan variabel tambahan

Bentuk Umum

Sebuah sistem umum persamaan linier m dengan n yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai

\ Begin (alignat) (7) a_ (11) x_1 & & \; \ +; & & a_ (12) x_2 & & \; + \ cdots + \; & & a_ (1N) x_n & & \; = \; & & & b_1 \ \ a_ (21) x_1 & & \; \ +; & & a_ (22) x_2 & & \; + \ cdots + \; & & a_ (2n) x_n & & \; = \; & & & \ \ \ vdots \ b_2; \; \; & & & & \ vdots \; \; \; & & & & \ vdots \; \; \; & & & & & \; \ vdots \ \ a_ (m1) x_1 & & \; \ +; & & a_ (m2) x_2 & & \; + \ cdots + \; & & a_ (mn) x_n & & \; = \; & & & b_m. \ \ \ End (alignat)

Di sini x_1, \ x_2 ,..., x_n adalah tidak diketahui, a_ (11), \ a_ (12 },..., \ a_ (mn) adalah koefisien dari sistem, dan b_1, \ ,..., b_2 b_m adalah konstanta.

Sering kali koefisien dan variabel yang tidak diketahui adalah nyata atau bilangan kompleks , tapi bilangan bulat dan bilangan rasional juga harus dilihat, seperti juga polinomial dan unsur-unsur abstrak struktur aljabar .

persamaan vektor

Salah satu pandangan yang sangat membantu adalah bahwa setiap variabel diketahui berat untuk vektor kolom dalam kombinasi linear .

x_1 \ begin (bmatrix) a_ (11) \ \ a_ (21) \ \ \ vdots \ \ a_ (m1) \ end (bmatrix) + x_2 \ begin (bmatrix) a_ (12) \ \ a_ (22) \ \ \ vdots \ \ a_ (m2) \ end (bmatrix) + \ cdots + x_n \ begin (bmatrix) a_ (1N) \ \ a_ (2n) \ \ \ vdots \ \ a_ (mn) \ end (bmatrix) = \ begin () b_1 bmatrix \ \ b_2 \ \ \ vdots \ \ b_m \ end (bmatrix)

Hal ini memungkinkan semua bahasa dan teori ruang vektor (atau lebih umum, modul ) untuk dibawa ke hasil. Misalnya, koleksi semua kemungkinan kombinasi linier dari vektor pada tangan sebelah kiri disebut mereka span(aljabar linear) , dan persamaan memiliki solusi yang tepat ketika tangan kanan vektor adalah dalam rentang tersebut. Jika setiap vektor dalam rentang yang tepat satu ekspresi sebagai kombinasi linier dari vektor kiri diberikan, maka solusi apa pun adalah unik. Dalam hal apapun, span memiliki dasar dari independen linear vektor yang menjamin tepat satu ekspresi, dan jumlah vektor di dasar (yang dimensi ) tidak dapat lebih besar dari m atau n, tapi bisa lebih kecil. Hal ini penting karena jika kita memiliki vektor solusi independen m dijamin terlepas dari tangan kanan, dan dinyatakan tidak dijamin.

Persamaan Matriks

Persamaan vektor adalah setara dengan sebuah matriks persamaan dalam bentuk

Sebuah berani \ (x) = \ (b) tebal

dimana A adalah matriks n × m, x adalah vektor kolom dengan entri n, dan b adalah vektor kolom dengan entri m.

A = \ begin (bmatrix) a_ (11) & a_ (12) & cdots \ & a_ (1N) \ \ a_ (21) & a_ (22) & cdots \ & a_ (2n) \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ (m1) & a_ (m2) & cdots \ & a_ (mn) \ end (bmatrix), \ quad \ tebal (x) = \ begin (bmatrix) x_1 \ \ x_2 \ \ \ vdots \ \ x_n \ end (bmatrix), \ quad \ tebal (b) = \ begin (bmatrix) b_1 \ \ b_2 \ \ \ vdots \ \ b_m \ end (bmatrix)

Jumlah vektor di dasar span sekarang dinyatakan sebagai peringkat matriks.

Solusi set

Solusinya ditetapkan untuk persamaan x – -1 dan 3 x + y = y = 9 adalah satu titik (2, 3).

.Sebuah solusi dari sistem linier adalah penyerahan nilai ke variabel x 1, x 2, …, x n sehingga masing-masing persamaan dipenuhi. Yang mengatur semua solusi yang mungkin disebut solusi set .

Sebuah sistem linier dapat berperilaku dalam salah satu dari tiga cara yang mungkin:

  1. Sistem ini memiliki banyak solusi tak terhingga.
  2. Sistem ini memiliki solusi tunggal yang unik.
  3. Sistem ini tidak memiliki solusi.

Interpretasi geometrik

Untuk sistem yang melibatkan dua variabel (x dan y), masing-masing persamaan linier menentukan garis pada xy itu – pesawat . Karena solusi untuk sistem linier harus memenuhi semua persamaan, himpunan solusi adalah persimpangan dari garis-garis, dan baik maka garis, satu titik tunggal, atau himpunan kosong .

Selama tiga variabel, masing-masing persamaan linier menentukan pesawat dalam ruang tiga dimensi , dan himpunan solusi adalah persimpangan dari pesawat. Jadi set mungkin solusi pesawat, baris, satu titik atau set kosong.

Untuk variabel n, masing-masing persamaan linier menentukan hyperplane dalam dimensi ruang n . Set solusi adalah persimpangan hyperplanes ini, yang mungkin menjadi rata dimensi apapun.

perilaku Umum

Solusinya ditetapkan untuk dua persamaan dalam tiga variabel biasanya baris.

Secara umum, perilaku sistem linier ditentukan oleh hubungan antara jumlah persamaan dan jumlah yang tidak diketahui:

  1. Biasanya, sistem dengan persamaan lebih sedikit daripada yang tidak diketahui memiliki tak terhingga solusi banyak. Sistem seperti ini juga dikenal sebagai sistem underdetermined .
  2. Biasanya, sistem dengan jumlah yang sama persamaan dan tidak diketahui memiliki solusi tunggal yang unik.
  3. Biasanya, sistem dengan persamaan lebih dari yang tidak diketahui tidak memiliki solusi. Sistem seperti ini juga dikenal sebagai sistem overdetermined .

Dalam kasus pertama, dimensi dari himpunan solusi biasanya sama dengan nm, dimana n adalah jumlah variabel dan m adalah jumlah persamaan.

Gambar-gambar berikut ini menggambarkan trikotomi dalam hal dua variabel:

Satu Line.svg Dua Lines.svg Tiga Lines.svg
One Equation Satu Persamaan Two Equations Dua Persamaan Three Equations Tiga Persamaan

Sistem pertama memiliki banyak solusi tak terhingga, yaitu semua titik-titik pada garis biru. Sistem kedua memiliki solusi tunggal yang unik, yaitu persimpangan dari dua baris. Sistem ketiga tidak memiliki solusi, sejak tiga baris tidak berbagi titik yang sama.

Perlu diingat bahwa gambar di atas hanya menampilkan kasus yang paling umum. Hal ini dimungkinkan untuk sistem dua persamaan dan dua yang tidak diketahui tidak memiliki solusi (jika dua garis sejajar), atau untuk sistem tiga persamaan dan dua yang tidak diketahui untuk dipecahkan (jika tiga garis berpotongan pada satu titik). Secara umum, sistem persamaan linier dapat berperilaku berbeda dari yang diharapkan jika persamaan linear , atau jika dua atau lebih persamaan tidak konsisten.

This entry was posted on Thursday, September 16th, 2010 at 11:28 am and is filed under Matematika TEknik. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

Leave a Reply